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N.B. : Ce qui suit est une profession de foi envers la pure beauté des mathématiques, de la part de quelqu’un qui n’est ni philosophe ni mathématicien, mais amoureux d’architecture et d’harmonie, et aussi « MOCeur ».

Aux V^ème et IV^ème s. avant notre ère, à la faveur du développement de la démocratie, vivaient à Athènes de nombreuses communautés de philosophes. Parmi eux, un certain Platon, disciple de Socrate.

Qui dit philosophe dit à l’époque, chercheur d’Absolu, de Vérité, et pour Platon cela se trouve dans les mathématiques. C’est aussi l’époque où les architectes théorisent sur les proportions idéales.

Au début du IV^ème s. (vers 390 av. J.-C.), Platon a étudié et suivi les découvertes des mathématiciens de son temps comme Théétète d’Athènes.
Il fut le premier, semble-t-il, à énoncer le principe suivant : alors qu’il est possible de créer une infinité de polygones réguliers, (surfaces délimitées par des côtés égaux) tels le triangle équilatéral, le carré, les penta-, hexa-, hepta-, octo-, ennéa-, déca-, undéca-, dodécagone régulier etc.), il n’existe que 5 volumes (ou solides) réguliers, c'est-à-dire ayant des arêtes égales.
Ce sont le tétraèdre à 4 faces (triangles équilatéraux), l’hexaèdre (plus souvent appelé cube) à 6 faces (carrés), l’octaèdre à 8 faces (triangles équilatéraux), le dodécaèdre à 12 faces (pentagones) et l’icosaèdre à 20 faces (triangles équilatéraux).
Les amateurs de jeux de rôles sur plateau connaissent les d4, d6, d8, d12, d20, les dés à 4, 6 (le dé « normal »), 8, 12 ou 20 faces. Cette intuition géniale a, depuis, été démontrée par des mathématiciens modernes.

On pourrait rajouter à la merveille, que si le cube a 6 faces et 8 sommets, l’octaèdre a 8 faces et six sommets ! Et que si le dodécaèdre a 12 faces et 20 sommets, l’icosaèdre a 20 faces et 12 sommets…

La parenté étroite entre ces couples porte le nom de dualité, le cube étant le dual de l’octaèdre etc. Seul le tétraèdre est son propre dual !

Certains, (ma femme Christine par exemple) ne bondissent pas d’allégresse devant tant de merveille, mais personne n’est parfaitement parfait.

Allons, soyons fou ! il y a encore plus fantastique : prenez un honnête icosaèdre (ci-dessous en vert), coupez lui à 1/3 de longueur d’arête chacun de ses 12 sommets vous obtiendrez la figure suivante, un icosaèdre tronqué (32 faces dont 20 hexagones réguliers et 12 pentagones réguliers).

Ça ne vous rappelle rien ? Et si je vous dis F.I.F.A ???

Alors le MOCeur que je suis a tenté de construire ces « solides platoniciens ».

Juste quelques petits problèmes d’angles à résoudre (les amateurs pourront me demander quelques petites précisions sur les calculs de trigonométrie à effectuer, ce serait un peu long et fastidieux ici !), et pour cela il faut travailler à assez grande échelle, sinon les déformations sont trop perceptibles. Alors je vous livre quelques images d’un tétraèdre, d’un cube « stud-in », d’un dodécaèdre et d’un icosaèdre (je ne suis pas assez content de mon octaèdre pour vous le montrer, ce n’est pourtant pas le plus difficile).
Travail long et vain ?
Certes, mais quel bonheur d’avoir (presque) réussi !

Et n’est-ce pas ce qu’on attend de notre passion, les LEGO®, nous apporter un peu de bonheur ?

Le Cube :

Le Tétraèdre :

Le Dodécaèdre :

L'Icosaèdre :

Je vous en souhaite tout plein dans la réalisation de vos rêves « légoliens ».

@ très bientôt à Rosheim pour Fanabriques2015 !

Marc Alméras

* un spécialiste de géométrie me reprochera sans doute d’employer le mot vulgaire de « centre » plutôt que ceux plus scientifiques qu’il faudrait utiliser : j’assume ! Je souhaite être compris par le plus grand nombre, c’est à dire ceux qui ont oublié leurs leçons de géométrie plane…

P.S. :
J'ai enfin accouché de 2 octaèdres. Un banal, trivial mais l'autre ... La réalisation d'un octaèdre aussi parfait que possible est donnée en partant d'un cube puis en ajoutant à ce cube un autre sur chacune de ses faces et ainsi de suite : la limite de cette construction à l'infini donne un octaèdre parfaitement régulier."